[통계/Python] 음이항분포(Negative Binomial Distribution) 개념 및 예제

[ 음이항분포(Negative Binomial Distribution) ] 

• 음이항분포는 $x$번의 베르누이 시행에서 $k$번째 성공할 때까지 계속 시행하는 실험에서의 확률을 나타내는 이산확률분포이다.
• 전체 x번 시행에서 생각해보면, $x-1$까지 $k-1$개의 성공이 있어야한다.
  • 이 경우, 실패의 갯수는 $(x-1)-(k-1)=x-k$

• 음이항분포는 보통 $X \sim NB(k,p)$ 라고 표기한다.

 

 

확률질량함수

성공확률이 $p$인 베르누이 시행을 독립적으로 반복할 때, $k$개의 성공을 얻을 때까지 필요한 시행횟수를 $X$라고 하면

 

 

 

음이항분포 Example 1

7회의 동일한 게임으로 구성된 경기에서 두 개의 팀 A와 B가 겨루게 되었다고 하자. 4회를 먼저 이기는 팀이 우승을 하게 되고, 어떤 팀이든지 먼저 4회를 이기면 경기는 더 이상 계속되지 않고 종료된다. 이제 A팀이 각 게임에서 이길 확률을 0.7이라고 할 때 경기가 5회에서 종료될 확률을 구해보자. A팀이 5회째 게임에서 4번째 승리를 거둘 사건을 A5, 그리고 B팀이 5회째 게임에서 4번째 승리를 거둘 사건을 B5라고 하자. 경기가 5회에서 종료될 확률을 구하시오.


출처 : 수리통계학 (송성주, 전명식 지음) 제 5판 85p 예 2.35

 

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• 4개의 성공(k=4)을 얻을 때까지 필요한 시행횟수 X=5
• 어느 팀이든 먼저 4회를 이기면 종료된다고 했으므로, A팀과 B팀을 나눠 생각한다.

 

• 먼저 A팀의 관점에서 보면 이길 확률 p=0.7
      $\rightarrow \binom{5-1}{4-1}(0.7)^4(0.3)^1=0.28812$

 

• B팀이 이길 확률은 0.3, 위 식에서 확률 자리를 바꿔서 계산해주면 된다.
      $\rightarrow \binom{5-1}{4-1}(0.3)^4(0.7)^1=0.02268$

 

• 최종 답은 두 확률을 더한 0.3108

 

import math

# A팀
p_A = 0.7

n = 5-1  # 전체 원소의 개수
r = 4-1  # 선택할 원소의 개수

result_A = math.comb(n, r) * ((p_A) ** 4) * ((1-p_A) ** 1)
print(result_A)

# B팀
p_B = 0.3

n = 5-1  # 전체 원소의 개수
r = 4-1  # 선택할 원소의 개수

result_B = math.comb(n, r) * ((p_B) ** 4) * ((1-p_B) ** 1)
print(result_B)

result = result_A + result_B
print("최종 확률 :" , result)

Output

 

음이항분포 Example 2

한국시리즈는 7전 4선승제로 이루어진다. A, B가 우승을 경쟁할 때 A팀의 승률이 0.7이라고 하면 A팀이 실제 7번 경기만에 우승이 결정될 확률은?

출처 : 이기적 빅데이터분석기사 필기 254p

 

• 7번째에 성공, 이전 6번째까지 3번을 이기고 3번 져야함

$\rightarrow 0.7 \times \binom{6}{3}(0.7)^3 (0.3)^3 = \binom{6}{3}(0.7)^4 (0.3)^3 = 0.129654$

 

import math

p = 0.7

n = 7-1  # 전체 원소의 개수
r = 4-1  # 선택할 원소의 개수

result = math.comb(n, r) * ((p) ** 4) * ((1-p) ** 3)
result

Output

 

 

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개인적으로 공부하며 요약한 자료입니다.

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